x

A

M

B

N

P

Q

C

D

\fcolorbox{red}{white}
{
\textbf{\underline{\underline{Problème}}}\ \ \
ABCD\ est\ un\ rectangle\ tel\ que:AB=4\ et\ AD=3. \ Pour \ tout\ nombre\ x\ compris\ entre\ 0\ et \ 3,\ 
on\ place\ sur\ [AB], [BC], [CD], et\ [DA]\ respectivement\ les\ points\ M,\ N,\ P,\ Q\ tels\ que:\
AM=BN=CP=DQ=x.\ \ \ \
▪ \quad \textbf{Partie\ I\quad Expression\ de\ l\text{'}aire\ de\ MNPQ}\
1. \quad Exprimer\ \mathcal{A}_{AMQ}\ et\ \mathcal{A}_{BNM} \ à\ l'aide\ x.\
2. \quad En\ déduire\ que\ \mathcal{A}_{MNPQ}=2x²-7x+12.\ \ \
▪ \quad \textbf{Partie\ II\quad Etude d'une fonction} \
\ \ \quad Soit\ f\ la\ fonction\ définie\ pour\ 0\leqslant x\leqslant3\ par:f(x)=2x²-7x+12.\
1. \quad Recopier\ et\ compléter\ le\ tableau\ de\ valeurs: 
\begin{array}{ |c |c | c | c | c | c | c | c| } \hline
x&0&0,5&1&1,5&2&2,5&3\ \hline
f(x)&&&&&&&\
\hline
\end{array} \
2.\quad Placer\ quelques\ points\ de\ la\ représentation\ graphique\ de\ f\ dans\ un\ repère,\ puis\ tracer\ \mathcal{C}_f.\
3. \quad Par\ lecture\ graphique\ de\ \mathcal{C}_f:conjecturer\ la\ valeur\ de\ x\ pour\ laquelle\ f(x)\ est\ minimal\
\ \ \quad et\ résoudre\ l'équation: f(x)=6.\ 
4.\quad Démontrer\ que\ pour\ toute\ valeur\ de\ x\ compris\ entre\ 0\ et\ 3, on\ a:f(x)=2\left( x-\frac{7}{4}\right)^2+\frac{47}{8}.\
\ \ \quad En\ déduire\ que\ f\left( \frac{7}{4} \right)=\frac {47}{8},\ et\ que :f(x)-\frac{47}{8}\geqslant 0, \ puis\ conclure.\
5.\quad Montrer\ que, \ pour\  0\leqslant x\leqslant3:f(x)-6=(2x-3)(x-2).\ 
\ \ \quad En\ déduire\ les\ solutions\ de\ l'équation\ : f(x)=6.\ \ \

▪ \quad \textbf{Partie\ III\quad Synthèse}\
1. \quad Pour\ quelle\ valeur\ de\ x\ ,\ l\text{'}aire\ de\ MNPQ\ est\text{-}elle\ minimale\ et\ que\ vaut\ cette\ aire\ minimale ? \
2. \quad Pour\ quelle\ valeur\ de\ x\ ,\ l\text{'}aire\ de\ MNPQ\ est\text{-}elle\ égale\ à\ la\ moitié\ de\ celle\ du\ rectangle\
\ \ \quad ABCD\ ?\
}
 

Fonction : parallélogramme\ dans\ un\ rectangle.

4

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A = (-2.106, -2.8254)
B = Point(Circle[A, 4])
a_1 = Segment(A, B)
b = OrthogonalLine(B, a_1)
c = OrthogonalLine(A, a_1)
d = Circle(B, 3)
C = Intersect(d, b, 2)
e = OrthogonalLine(C, b)
D = Intersect(c, e)
f = Segment(B, C)
g = Segment(C, D)
h = Segment(D, A)
a = 1 (slider from 0 to 3, step 0.1)
k = Circle(A, a)
p = Circle(B, a)
q = Circle(C, a)
r = Circle(D, a)
P = Intersect(q, g, 1)
Q = Intersect(r, h, 1)
M = Intersect(k, a_1, 1)
N = Intersect(p, f, 1)
poly1, g_1, h_1, e_1, f_1 = Polygon(M, N, P, Q)
A': A - (0, 0.25)
M': M - (0, 0.25)
E = Midpoint(A', M')
u = Vector(E, A')
v = Vector(E, M')
i = Segment(A, M)
j = Segment(B, N)
l = Segment(C, P)
m = Segment(D, Q)
poly2, q_1, a_2, m_1 = Polygon(A, M, Q)
poly3, n, m_2, b_1 = Polygon(M, B, N)
poly4, p_1, n_1, c_1 = Polygon(N, C, P)
poly5, q_2, p_2, d_1 = Polygon(P, D, Q)
A'': A - (0, 1)
B'': B - (0, 1)
F = Midpoint(A'', B'')
w = Vector(F, A'')
s = Vector(F, B'')
B': B + (1, 0)
C': C + (1, 0)
G = Midpoint(B', C')
t = Vector(G, B')
u_1 = Vector(G, C')
α = Angle(B, A, D)
β = Angle(C, B, A)
γ = Angle(A, D, C)
δ = Angle(D, C, B)
texte14: "x=" + (LaTeX[a]) + ""
texte15: "\mathcal{A}_{MNPQ}=" + (LaTeX[poly1]) + ""